Soal No. 1
(10 poin) Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dimana posisinya sebagai
fungsi dari waktu t dapat dinyatakan dengan kurva seperti terlihat pada gambar
di samping (x dalam meter dan t dalam detik).
Tentukan:
a. kecepatan sesaat di titik D
b. kecepatan awal benda
c. kapan benda dipercepat ke kanan
Pembahasan
a. kecepatan sesaat di titik D
Kecepatan sesaat adalah turunan pertama fungsi posisi x terhadap waktu t. Ingat
di pelajaran matematika untuk titik maksimum fungsi syaratnya turunan fungsinya
sama dengan nol. Jadi v = dx/dt = 0
b. kecepatan awal benda
Awal gerak benda hingga mendekati titik C, benda bergerak lurus beraturan
sehingga kecepatannya selalu sama untuk titik-titik tersebut sama dengan
kecepatan awal (grafiknya linear). Sehingga dari rumus GLB:
x = vot
vo =
x/t = 5/4 = 1,25 m/s
c. kapan benda dipercepat ke kanan
Benda tidak dipercepat ke kanan, dari awal benda benda bergerak lurus
beraturan, kemudian mulai melambat hingga detik-detik berikutnya.
Soal No. 2
(10 poin) Dua mobil A dan B bergerak melalui jalan yang sama dan berangkat dari
titik awal yang sama secara bersamaan. Kurva kecepatan v kedua mobil sebagai
fungsi waktu t diberikan pada gambar di samping.
Tentukan:
a. persamaan jarak tempuh A dan B sebagai fungsi dari waktu.
b. kapan dan di mana mobil A berhasil menyusul mobil B.
c. sketsa kurva posisi kedua mobil terhadap waktu dalam satu gambar. Ambil
selang waktu sejak kedua mobil berangkat hingga sesaat setelah mobil A menyusul
mobil B.
d. Jika setelah menempuh jarak 60 m mobil A melambat dengan besar perlambatan
yang sama dengan besar percepatan ketika awal perjalanan, kapan dan di manakah
mobil B berhasil menyusul mobil A?
Pembahasan
a. persamaan jarak tempuh A dan B sebagai fungsi dari waktu.
Mobil B bergerak lurus beraturan, kecepatannya selalu sama setiap waktu yaitu 4
m/s. Persamaannya jarak tempuhnya adalah kecepatan awal dikali waktu:
x(t) = 4t
Mobil A bergerak lurus berubah beraturan, dengan kecepatan awal vo = 2 m/s dan
saat t = 4 s, kecepatannya adalah 4 m/s. Percepatan mobil A dicari dulu:
vt = vo + at
4 = 2 + 4a
4a = 2
a = 0,5 m/s2
Persamaan jarak untuk mobil A :
x = vot + 1/2 at2
x = 2t + 1/2(0,5)t2
x = 2t + 1/4t2
b. kapan dan di mana mobil A berhasil menyusul mobil B.
Mobil A menyusul B saat jarak tempuh keduanya sama:
4t = 2t + 1/4t2
16t = 8t + t2
t2 -
8t = 0
t(t - 8) = 0
t = 8 s
Pada jarak
x = 4t = 4(8) = 32 meter
c. sketsa kurva posisi kedua mobil terhadap waktu dalam satu gambar. Ambil
selang waktu sejak kedua mobil berangkat hingga sesaat setelah mobil A menyusul
mobil B.
Mobil B: x = 4t
t = 1 s → x = 4(1) = 4 m
t = 2 s → x = 4(2) = 8 m
t = 4 s → x = 4(4) = 16 m
t = 6 s → x = 4(6) = 24 m
t = 8 s → x = 4(8) = 32 m
Mobil A: x = 2t + 1/4t2
t = 1 s → x = 2(1) + 1/4(1)2 = 2,25 m
t = 2 s → x = 2(2) + 1/4(2)2 = 5 m
t = 4 s → x = 2(4) + 1/4(4)2 = 12 m
t = 6 s → x = 2(6) + 1/4(6)2 = 21 m
t = 8 s → x = 2(8) + 1/4(8)2 = 32 m
Grafik:
d. Jika setelah menempuh jarak 60 m mobil A melambat dengan besar perlambatan
yang sama dengan besar percepatan ketika awal perjalanan, kapan dan di manakah
mobil B berhasil menyusul mobil A?
Waktu yang diperlukan mobil A menempuh 60 m adalah:
x = 2t + 1/4t2
60 = 2t + 1/4t2
t2 +
8t - 240 = 0
(t + 20)(t - 12) = 0
Ambil t = 12 sekon.
Jarak tempuh A dan B masing-masing saat t = 12 s adalah
xoA =
60 m
xoB =
4t = 4(12) = 48 m
Kecepatan mobil A dan B masing-masing t = 12 s adalah:
VtA =
vo + at = 2 + (0,5)12 = 8 m/s → menjadi Vo untuk gerak sejak diperlambat
VB = 4
m/s konstan
Waktu yang diperlukan mobil B menyusul mobil A sejak diperlambat
adalah
xA = xB
xoA + VoA t - 1/2 a t2 = xoB + VB t
60 + 8t - 1/2 (0,5)t2 =
48 + 4t
12 + 4t - 1/4t2 = 0
t2 -
16t - 48 = 0
Dengan rumus ABC diperoleh t = (8 + 4√7) sekon
Dalam waktu (8 + 4√7) sekon tersebut jarak tempuh B adalah 4(8 + 4√7) =
32 + 16√7 meter.
Sehingga dari awal gerak waktu yang diperlukan adalah 12 + (8 + 4√7) = 20 + 4√7
sekon pada jarak 48 + (32 + 16√7) = 80 + 16√7 m ≈ 122,33 m.
Cecking jarak tempuh mobil A dari mulai diperlambat untuk t = 8 + 4√7 sekon :
x = Vot - 1/2 at2
x = 8 (8 + 4√7) - 1/2 (1/2)(8 + 4√7)2
= 148,66 - 86,33 ≈ 62,33 m
Jarak dihitung dari awal gerak dengan demikian adalah 60 + 62,33
= 122,33 m
(Thanks to Fahrul Effendi )
Soal No. 3
(12 poin) Sebuah bola dolepaskan pada ketinggian h dari permukaan bidang miring
yang memiliki sudut kemiringan α terhadap horisontal (lihat gambar).
Sesampainya di permukaan bidang miring, bola memantul-mantul secara elastik.
Bidang miring dianggap sangat panjang. Hitung (nyatakan dalam h dan α)
a. waktu tempuh bola antara pantulan pertama dan kedua.
b. jarak antara pantulan pertama dan kedua.
Sketsa bola saat memantul untuk pertama kali:
Untuk kasus seperti ini sumbu x berlaku GLBB, demikian juga sumbu y nya berlaku
GLBB.
a. waktu tempuh bola antara pantulan pertama dan kedua.
Untuk menempuh tinggi maksimum (ymaks)
yaitu saat vty =
0, diperlukan waktu:
Sehingga untuk menentukan jarak mendatar maksimum (xmaks)
diperlukan waktu:
b. jarak antara pantulan pertama dan kedua. Jarak antara pantulan pertama dan
kedua sama dengan jarak xmaksimum:
Soal No. 4
(12 poin) Sebuah roda bermassa m, dan jari-jari r dihubungkan dengan pegas tak
bermassa yang memiliki konstanta pegas k, seperti ditunjukkan pada gambar.
Roda itu berotasi tanpa slip di atas lantai. Titik pusat massa roda berosilasi
secara harmonik pada arah horizontal terhadap titik seimbang di x = 0.
Tentukan:
a. Energi total dari sistem ini
b. Frekuensi osilasi dari sistem ini
Pembahasan
Misalkan dari posisi seimbang roda (bentuk silinder) tertarik ke kanan sejauh
x. Ada gaya pegas Fp = kx dan gaya gesek f, kemudian silinder berotasi ke arah
kiri.
a. Energi total dari sistem ini
Etot =
EPpegas +
EKtranslasi +
EKrotasi
Etot =
1/2 kx2 +
1/2 mv2 +
1/2 Iω2
dimana I = momen inersia silinder = ½ mr2 dan v = ω r
b. Frekuensi osilasi dari sistem ini
Dari gerak rotasi silinder
Dari gerak translasinya silinder
Gabung i dan ii
dengan a = ω2 x maka diperoleh frekuensi osilasi silinder
sebagai berikut:
Soal No. 5
(12 poin) Sebuah bola berada di atas sebuah tiang vertikal (lihat gambar).
Tiba-tiba bola tersebut pecah menjadi dua bagian. Satu bagian terpental
mendatar ke kiri dengan kecepatan 3 m/s dan satu bagian lagi terpental ke kanan
dengan kecepatan 4 m/s. Pada kondisi tertentu vektor kecepatan dari dua pecahan
tersebut saling tegak lurus. Hitung (ambil harga g = 10 m/s2):
a. watu yang dibutuhkan setelah tumbukan hinggakondisi itu tercapai,
b. jarak antara kedua pecahan itu saat kondisi di atas terjadi.
Pembahasan
Vektor kecepatan masing-masing pecahan (kanan (+), kiri (-))
v1 =
(-3i - vyj) m/s
v2 =
(4i - vyj) m/s
Kedua vektor saling tegak lurus saat v1 ⋅ v2 = 0
sehingga
(-3i - vyj) ⋅
(4i - vyj) = 0
-12 + vy2 = 0
vy2 = 12
vy =
√12
vy =
2√3
a) Waktu yang diperlukan
Dari gerak jatuh bebas pada sumbu y:
vy =
gt
2√3 = 10t
t = 1/5 √3 sekon
b) jarak kedua pecahan
Jarak kedua pecahan ditentukan dari gerakan pada sumbu x
Δx = x2 - x1
= v2xt - v1xt
= (v2x - v1x)t
= (4 - (-3))1/5 √3
= 7/5 √3 m
